1．命题

能判断真假的语句叫做命题．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示

形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题 

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题． 

(3)存在性命题的符号表示 

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为 ∃x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词 

常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”． 

5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 

p	q	p∧q	p∨q	綈p
真	真	真	真	假
真	假	假	真	假
假	真	假	真	真
假	假	假	假	真

6．含有一个量词的命题的否定

命题	命题的否定
∀x∈M，p(x)	∃x∈M，綈p(x)
∃x∈M，p(x)	∀x∈M，綈p(x)

高频考点一　命题及其关系

例1、(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，假，真 B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

答案　(1)C　(2)B

【感悟提升】(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

【变式探究】 (1)命题“若α＝3(π)，则cosα＝2(1)”的逆命题是(　　)

A．若α＝3(π)，则cosα≠2(1)

B．若α≠3(π)，则cosα≠2(1)

C．若cosα＝2(1)，则α＝3(π, )

D．若cosα≠2(1)，则α≠3(π)

(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③ B．②

C．②③ D．①②③

答案　(1)C　(2)A

高频考点二　充分必要条件的判定

例2、(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(　　)

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

(2)一次函数y＝－n(m)x＋n(1)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)

A．m>1，且n<1 B．mn<0

C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0

答案　(1)B　(2)B

解析　(1)根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断．

∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga3<logb3正确；反之，若loga3<logb3，则不一定得到3a>3b>3，例如当a＝2(1)，b＝3(1)时，loga3<logb3成立，但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件．

(2)∵y＝－n(m)x＋n(1)经过第一、三、四象限，故－n(m)>0，n(1)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.

【感悟提升】充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

【变式探究】 (1)(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)若命题p：φ＝2(π)＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案　(1)A　(2)A

高频考点三　充分必要条件的应用

例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则1＋m≤10，(1－m≥－2，　∴0≤m≤3.)

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是．

【感悟提升】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

【变式探究】　(1)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)

A．0<a≤1 B．a<1

C．a≤1 D．0<a≤1或a<0

(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　(1)C　(2)2(1)