二、填空题
13.数列的前项和为,若数列的各项按如下规律排列: 有如下规律排列:
①;
②数列是等比数列;
③数列的前项和为
④若存在正整数,使,则.
其中正确的结论是__________.(将你将认为正确的结论序号都填上)
14．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
15.已知函数 若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为__________.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率等于_______
三、解答题
17.在△中,角所对的边分别为,已知.
1.求角的大小;
2.若,求的取值范围.
18.已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和为，证明．
19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生较早接受大学思维方式和学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人学习了大学先修课程.
（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据如下等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习大学先修课程与优等生有关系？

优等生 非优等生 合计
学习大学先修课程 250
没有学习大学先修课程
合计 150
（2）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名学习了大学先修课程的概率.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考公式：，其中.
20．如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点 ．

（1） 证明：；
（2） 若，且三棱柱的体积为，求三棱柱的高.



21．已知抛物线,,过点A(1,1)．

（1）求抛物线C的方程；
（2）如图，直线与抛物线交于两个不同点（均与点不重合），设直线的斜率分别为且，求证直线过定点，并求出定点.

22．已知函数f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0.
(1)讨论函数f(x)的单调性．
(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数

参考答案

一、选择题
1.答案：B解析：∵ ，∴ 。∴
2.答案：D
解析：设,则.
由题意得解得
∴或.
当时,,
当时,.
故.故选D.
3.答案：A
解析：解：的底数大于0小于1而真数大于1，， ，，
.
故选A.
4.答案：D
解析：的否定是的否定是的否定是.故选D
5.答案：C
解析：由知.
所以.又因为,所以,
即,故.
6.B
7．C
解：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；
在B中,F,M是底面正方形边的中点，由平面几何得，又底面 ，所以，,所以平面,故B正确；
在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．
在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥的体积为定值,故D正确．
故选：C．
8.答案：D
9.答案：B
解析：∵,
,
则当时, 函数为增函数;
当时, ,函数为减函数;
当时, 取****值,f(1)=-12; ;故选B
10．B
由题意可知是半径为1的球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.
【详解】
由题意易得：，
将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：，
从而，，
所以，
11.答案：A
解析：令,则为奇函数,且在R上单调递减,∴可化为,即,∴,∴.
12【解析】 ∵f(x)＞2(x＋)f′(x)，
∴f(x)＞2(＋1)f′(x)，
∴f(x)＞(＋1)f′(x)．
∴f′(x)(＋1)－f(x)＜0，
∴′＜0，
设g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)上递减，
故g(1)＞g(4)＞g(9)，∴>＞.
【答案】 B
13.答案：①③④
14【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴⇒
∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.

15.答案：
解析：由在区间内单调递增,
且的图像关于直线对称,可得 ,
且,
所以 
16. 或
由题意，根据双曲线的定义可得，又因为，
可得，
又由，可得，
在中，由余弦定理可得
，
解得或，所以或，
17.答案：1.由已知条件结合正弦定理,得,
从而有,
∴.
又,
∴.
2.∵,
∴,
∴∵
∴,
即.
故的取值范围为.
18.答案：（1）当时，，得，
当时，，得，
数列是公比为3的等比数列，
．
（2）由（1）得：，
又 ①
②
两式相减得：，
故，
． 
19.答案：（1）列联表如下：
优等生 非优等生 合计
学习大学先修课程 50 200 250
没有学习大学先修课程 100 900 1000
合计 150 1100 1250
,因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习大学先修课程与优等生有关系.
（2）在这5名优等生中，记学习了大学先修课程的2名学生为，记有习大学先修课程3名学生为.
则所有的抽样情况如下：
，共10种，其中没有学生学习大学先修课程的情况有1种，为.
记事件A为至少有1名学生学习了大学先修课程，则.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）证明垂直所在的平面，进而可得证；
（2）根据三棱柱的体积为，求得，由，得到三棱柱的高.
【详解】
（1）连接，因为侧面为菱形，

所以，且与相交于点，
因为平面，平面，
所以，又，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由且垂直平分可知是等腰直角三角形，则，
又
得.
，且等边中，，故中，
又，易求得等腰中边上的高为，
则，
由有.
21.解(1) 将点代入有,故抛物线方程为：
(2)设直线:.联立有,
且
因为,同理.由得
,
化简得.所以直线:,
故过定点
22【解析】 (1)f′(x)＝(x＞0)，
当a＜0时f′(x)＞0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，由f′(x)＝＞0，得x＞，
由f′(x)＝＜0，得0＜x＜，
∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)∵当x∈时，函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点，
即当x∈时，方程(ln x－1)ex＋x＝m的根．
令h(x)＝(ln x－1)ex＋x，h′(x)＝ex＋1.
由(1)知当a＝1时，f(x)＝ln x＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，
∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.
∴＋ln x－1≥0在x∈上恒成立．
∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1＞0，
∴h(x)＝(ln x－1)ex＋x在x∈上单调递增．
∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝e.
∴当m＜－2e＋或m＞e时，函数g(x)在上没有零点；
当2e＋≤m≤e时，函数g(x)在上有一个零点．