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数学(文)试卷

 

一、选择题(本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。)

1.设集合A＝{x|x²－1<0}，B＝{y|y＝2^x，x∈A}，则A∩B＝

A.(0，1)     B.(－1，2)     C.(1，＋∞)     D.(，1)

2.已知复数z满足：(z－i)(1＋2i)＝i³(其中i为虚数单位)，复数z的虚部等于

A.－     B.－     C.     D.

3.命题p：若α为第一象限角，则sinα<α；命题q：函数f(x)＝2^x－x²有两个零点，则

A.p∧q为真命题     B.p∨q为真命题     C.p∨q为真命题     D.P∧q为真命题

4.正项等比数列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₁是函数f(x)＝x³－4x²＋6x－3的极值点，则＝

A.1     B.2     C.－1     D.

5.已知O是正方形ABCD的中心，若，其中λ，µ∈R，则＝

A.－2     B.－     C.－     D.

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²＋c²＝a²＋bc。若sinB·sinC＝sin²A，则△ABC的形状是

A.等腰三角形     B.直角三角形     C.等边三角形     D.等腰直角三角形

7.如图直角坐标系中，角α(0<α<)、角β(－<β<0)的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S_△AOB＝，则sin(cos－sin)＋的值

A.     B.     C.－     D.

8.已知公比不为1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂，2a₅，3a₈成等差数列，则

A.     B.     C.     D.

9.已知函数f(x)＝＋cos(x－1)，若函数g(x)＝|－x²＋4x－2|与f(x)图象的交点为(x，y)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，则

A.2m     B.3m     C.4m     D.m

10.将函数y＝2sinωx(ω>0)的图象向左平移(0<φ≤)个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若g(x)>－1对任意x∈(－，)恒成立，则φ的取值范围是

A.[，]     B.[，]     C.[，]     D.[，]

11.已知函数f(x)＝x²－ax，g(x)＝lnx－e^x。在其共同的定义域内，g(x)的图像不可能在f(x)的上方，则求a的取值范围

A.0<a<     B.a>0     C.a≤e＋1     D.a≤0

12.已知函数g(x)满足g(x)＝g'(1)e^x－1－g(0)x＋x²，且存在实数x₀与使得不等式2m－1≥g(x₀)成立，则m的取值范围为

A.(－∞，2]     B.(－∞，3]     C.[0，＋∞)     D.[1，＋∞)

II卷

二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13.平面向量与的夹角为60°，＝(2，0)，||＝1，则|＋2|等于          。

14.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，，S_△ABC＝，则b的值为          。

15.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁＝1，a₂＝2，S_n＋1＝a_n＋2－a_n＋1(n∈N^*)，则S_n＝          。

16.已知函数f(x)＝2lnx(≤x≤e²)，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是          。

三、解答题(本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝1，S₉＝81。

(I)求{a_n}的通项公式；

(II)求的值。

18.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c－2acosB＝b。

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为，且c²＋abcosC＋a²＝4，求a。

19.(本小题满分12分)已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝(n∈N^*)。

(I)求{a_n}的通项公式a_n；

(II)数列{b_n}满足的b_n＝(3ⁿ－1)··a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ<T_n＋对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围。

20.(本小题满分12分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝0，其中S是△ABC的面积，C＝。

(1)求cosB的值；

(2)若S＝24，求a的值。

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝mlnx＋(4－2m)x＋(m∈R)。

(1)当m≥4时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设t，s∈[1，3]，不等式|f(t)－f(s)|<(a＋ln3)(2－m)－2ln3对任意的m∈(4，6)恒成立，求实数a的取值范围。

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ke^x－x²(其中k∈R，e是自然对数的底数)。

(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；

(2)若函数f(x)有两个极值点x₁，x₂(x₁<x₂)，求k的取值范围，并证明：0<f(x₁)<1。